Aprendiendo matemáticas con patricia

                                       

                                                                       REFLEXION:

                                        Aprende matemática con patricia centeno, Geometría. 

 Sesiones cónicas 

El resultado de la intersección de la superficie de un cono, con un plano, da lugar a lo que se denominan secciones cónicas, que son: la parábola, la elipse (la circunferencia es un caso particular de elipse) y la hipérbola.

• La parábola es el lugar geométrico de todos los puntos que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.

Una parábola (figura A) cuyo eje de simetría sea paralelo al eje de abcisas se expresa mediante la ecuación:

${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c\,}$

• La elipse es el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es siempre igual a una constante positiva, e igual a la distancia entre los vértices.

Una elipse (figura B) centrada en los ejes, con longitudes de semieje a y b viene dada por la expresión:

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\,}$

• Si los dos ejes son iguales y los llamamos c:

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{c^{2}}}+{\frac {y^{2}}{c^{2}}}=1\,}$

el resultado es una circunferencia:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=c^{2}\,}$

• La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos tales que el valor absoluto de la diferencia (resta) de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es siempre igual a una constante positiva, e igual a la distancia entre los vértices.

La hipérbola (Figura C) tiene por expresión:

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$

Expresión algebraica

Folium de Descartes
x³ + y³ − 3axy = 0, a = 1.

En coordenadas cartesianas, las cónicas se expresan en forma algebraica mediante ecuaciones cuadráticas de dos variables (x,y) de la forma:

${\displaystyle ax^{2}+2hxy+by^{2}+2gx+2fy+c=0\,}$

en la que, en función de los valores de los parámetros, se tendrá:

h² > ab: hipérbola.

h² = ab: parábola.

h² < ab: elipse.

a = b y h = 0: circunferencia.

Funciones trigonométricas

Artículo principal: Trigonometría

Artículo principal: Función trigonométrica

Representación gráfica en un sistema de coordenadas cartesianas de las funciones trigonométricas.

Construcciones en el espacio tridimensional.

Artículo principal: Cuádrica

Elipsoide.

Los razonamientos sobre la construcción de los ejes coordenados son igualmente válidos para un punto en el espacio y una terna ordenada de números, sin más que introducir una tercera recta perpendicular a los ejes X e Y: el eje Z.

Sin embargo no hay análogo al importantísimo concepto de pendiente de una recta. Una única ecuación lineal del tipo:

${\displaystyle \,ax+by+cz=0}$

Representa en el espacio un plano. Si se pretende representar mediante ecuaciones una recta en el espacio tridimensional necesitaremos especificar, no una, sino dos ecuaciones lineales como las anteriores. De hecho toda recta se puede escribir como intersección de dos planos. Así una recta en el espacio podría quedar representada como:

${\displaystyle {\begin{cases}a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z=d_{1}\\a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z=d_{2}\end{cases}}}$

Es importante notar que la representación anterior no es única, ya que una misma recta puede expresarse como la intersección de diferentes pares de planos. Por ejemplo los dos pares de ecuaciones:

Clasificación de la geometría analítica dentro de la geometría

Desde el punto de vista de la clasificación de Klein de las geometrías (el Programa de Erlangen), la geometría analítica no es una geometría propiamente dicha.

Desde el punto de vista didáctico, la geometría analítica resulta un puente indispensable entre la geometría euclidiana y otras ramas de la matemática y de la propia geometría, como son el propio análisis matemático, el álgebra lineal, la geometría afín, la geometría diferencial o la geometría algebraica.

En física se utiliza los sistemas de coordenadas para la representación de movimientos y vectores entre otras magnitudes.