Aprendiendo matemáticas con patricia

                                                                       REFLEXION: 

Divisibilidad

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«Divisor» redirige aquí. Para otras acepciones, véase Divisor (desambiguación).

En matemáticas, concretamente en aritmética, se dice que un número entero b es divisible entre otro entero a (no nulo) si existe otro entero c tal que: ${\displaystyle b=a\cdot c}$. Esto es equivalente a decir que el resto de la división euclídea es cero o simbólicamente ${\displaystyle b-a\cdot c=0}$.

Se suele expresar de la forma ${\displaystyle a\mid b}$, que se lee: «a divide a b», o «a es un divisor de b» o también «b es múltiplo de a».

¹​ Por ejemplo, 6 es divisible entre 3, ya que 3×2=6; pero 6 no es divisible entre 4, pues no existe un entero c tal que 4×c=6; es decir que el resto de la división euclídea (entera) de 6 entre 4 no es cero.

Cualquier número natural

²​ es divisible entre 1 y entre sí mismo. Los números mayores que 1 que no admiten más que estos dos divisores se llaman números primos. Los que admiten más de dos divisores se llaman números compuestos.

Definición

El número entero ${\displaystyle a}$ es divisible entre el número entero ${\displaystyle b\neq 0}$ (o lo que es lo mismo, b divide a a) si hay un número ${\displaystyle q}$ entero, tal que ${\displaystyle a=b\cdot q}$.

Este hecho se denomina divisibilidad del número entero ${\displaystyle a}$ por el número entero ${\displaystyle b}$ y se denota por ${\displaystyle b|a}$; que no es otra cosa que una afirmación entre los números enteros, que, en un contexto concreto, puede ser cierta o no.³​ Por ejemplo ${\displaystyle 3|12}$ es cierta; sin embargo, ${\displaystyle 3|17}$ no es cierta. Si ${\displaystyle b}$ no es divisor de ${\displaystyle a}$ se escribe ${\displaystyle b\nmid a}$. Nótese que ${\displaystyle 0\nmid a}$ para todo ${\displaystyle a}$ distinto de cero, pues ${\displaystyle a\neq 0=k\cdot 0}$ para todo ${\displaystyle k}$ entero.

Factor o divisor propio

Se denomina factor o divisor propio de un número entero n, a otro número también entero que es divisor de n, pero diferente de 1 y de n. Los divisores 1 y n son denominados impropios.

Por ejemplo, los divisores propios de 28 son 2, 4, 7 y 14. Cuando se toman en cuenta enteros negativos, un divisor propio es aquel cuyo valor absoluto es menor que el número dado. En este caso, los divisores propios serían -14, -7, -4, -2, 2, 4, 7, 14.

Casos especiales: 1 y -1 son factores triviales de todos los enteros, y cada entero es divisor de 0. Los números divisibles por 2 son llamados pares y los que no lo son se llaman impares.

Si d es un divisor de a y el único divisor que admite d es 1 y él mismo, se llama divisor primo de a. De hecho es un número primo. El 1 es el único entero que tiene un solo divisor positivo.

Propiedades

Sean ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {Z} }$, es decir ${\displaystyle \ a}$, ${\displaystyle \ b}$ y ${\displaystyle \ c}$ son números enteros. Se dan las propiedades básicas:

• Si ${\displaystyle a\neq 0}$ entonces ${\displaystyle a\mid a}$ (Propiedad reflexiva).
• si ${\displaystyle a\mid b}$ y ${\displaystyle b\mid a}$ entonces ${\displaystyle |a|=|b|}$ . Son iguales o bien uno es el opuesto del otro.
• Cuando ${\displaystyle a\mid b}$ y ${\displaystyle b\mid c}$, entonces ${\displaystyle a\mid c}$ (Propiedad transitiva).
• Si ${\displaystyle a\mid b}$ y ${\displaystyle b\neq 0}$, entonces ${\displaystyle |a|\leq |b|}$.
• ${\displaystyle a\mid b}$ y ${\displaystyle a\mid c}$, implica ${\displaystyle a\mid \beta b+\gamma c\ \ \forall \ \beta ,\gamma \in \mathbb {Z} }$. Divisor de la combinación lineal.
• ${\displaystyle a\mid b}$ y ${\displaystyle a\mid c}$, implica ${\displaystyle a\mid \theta b^{k}+\kappa c^{j}\ \ \forall \ \theta ,\kappa ,k,j\in \mathbb {Z} }$. Divisor de la combinación lineal de potencias.⁴​
• Si ${\displaystyle a\mid b}$ y ${\displaystyle a\mid b\pm \ c}$, entonces ${\displaystyle a\mid c}$.
• De ${\displaystyle a\mid b}$ y ${\displaystyle a\neq 0}$, se deduce ${\displaystyle {\frac {b}{a}}\mid b}$. Divisores conjugados.
• Para ${\displaystyle c\neq 0}$, ${\displaystyle a\mid b}$ si y solo si ${\displaystyle ac\mid bc}$.
• Si ${\displaystyle a\mid bc}$ y ${\displaystyle \ \operatorname {mcd} (a,b)=1}$, entonces ${\displaystyle a\mid c}$.
• Cuando ${\displaystyle \ \operatorname {mcd} (a,b)=1}$ y ${\displaystyle \ c}$ cumple que ${\displaystyle a\mid c}$ y ${\displaystyle b\mid c}$, entonces ${\displaystyle ab\mid c}$.
• ${\displaystyle n\mid 0}$ y ${\displaystyle 1\mid n}$ para todo ${\displaystyle \ n}$ entero ya que ${\displaystyle 0=0\cdot n}$ y ${\displaystyle n=n\cdot 1}$.
• ${\displaystyle 1\mid \operatorname {mcd} (a,b)\mid a\mid \operatorname {mcm} (a,b)\mid 0}$ .
• abcd es divisible entre n-1 si y solo si a+b+c+d es múltiplo de (n-1), siempre que abcd esté escrito en la base n, (n≥ 3 ).⁵​
• Si mcd(a,b) = 1 no cabe a^k = b^h para cualesquiera h, k números enteros positivos; potencias de coprimos no son iguales en ningún caso.⁶​
• En cualquier sistema de numeración, para chequear si N es múltiplo de h, divisor de la base, basta analizar la última cifra de N. Así, en la numeración decimal, para saber si N es múltiplo de 5, basta ver si la última cifra es 5 o 0. En la base 12, para saber si N es divisible entre 6, basta ver si termina en 6 o 0. En el sistema hexadecimal, para chequear si N es múltiplo de 4 basta ver que termina en uno de estos dígitos: 0, 4, 8, C

Número de divisores

• Si la factorización en números primos de n viene dada por

  ${\displaystyle n=p_{1}^{\nu _{1}}\,p_{2}^{\nu _{2}}\cdots p_{k}^{\nu _{k}}}$

  entonces el número de divisores positivos de n es

  ${\displaystyle d(n)=(\nu _{1}+1)(\nu _{2}+1)\cdots (\nu _{k}+1),}$

  y cada uno de los divisores tiene la forma

  ${\displaystyle p_{1}^{\mu _{1}}\,p_{2}^{\mu _{2}}\cdots p_{k}^{\mu _{k}}}$

  donde ${\displaystyle 0\leq \mu _{i}\leq \nu _{i}}$ para cada ${\displaystyle 1\leq i\leq k.}$

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